0%

复数

分母有理化

定义:将分母中含有根式的分数通过变化使得分母中仅含有有理数

:warning:平方差公式:$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

  • 分母中仅含有根式
  • 分母中含有根式和整式

虚数 / 复数

image-20221029094307137

  • 虚数即在实数轴之外的部分,基本单位是 $i$ ,并且 $i^2=-1$
    • 虚数的运算除了 $i^2=-1$ 之外,其余和实数完全一致
    • $i^3=i^2\times i=-1\times i=-i$,更复杂的计算如下:
  • 复数即虚数与实数的组合,基本表示形式为 $z=a+bi$,其中 $a,b\in R$
    • 实部/虚部
      • 其中 $a$ 叫做复数 $z$ 实部,$bi$ 叫做复数 $z$ 的虚部
      • :warning: $a,b$ 均可以为 0,也就是说 所有的 纯实数/纯虚数 本身就是复数
    • 复平面
      • 复数 $a+bi$ 在复平面对应点 $(a,b)$
    • 复数的模
      • 对于 $z=a+bi$,$z$ 的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
    • 共轭复数
      • 对于 $z=a+bi$,$z$ 的共轭(复数) $\bar z=a-bi$
  • 复数的例子:
    • 对于 $z=1+2i$
      • $z$ 的实部为 $1$,虚部为 $2i$
      • $z$ 在复平面对应的点为 $(1,2)$
      • $z$ 的模 $|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt 5$
      • $z$ 的共轭 $\bar z=1-2i$

复数分母实数化

定义:将分母中含有虚部的分数通过变化使得分母中仅含有实数

  • 分母中仅含有虚部
  • 分母中实部虚部都不为零

例题1:

image-20221029100826673

因此对应点坐标为 $(-\frac1 2,\frac1 2)$ 即第二象限,选 $B$